Question

已知

a

=(sinx，1)，

b

=(cosx，-

1

2

)．（1）当

a

⊥

b

时，求|

a

+

b

|的值；（2）求函数f(x)=

a

•(

a

-

b

)的值域．

Answer 1

分析：（1）由已知中

a

=(sinx，1)，

b

=(cosx，-

1

2

)．由

a

⊥

b

时，

a

•

b

=0，我们可求出sinx•cosx=

1

2

．进而得到|

a

+

b

|的值；
（2）由已知中

a

=(sinx，1)，

b

=(cosx，-

1

2

)代入平面向量数量积的运算公式，结合降幂公式和辅助角公式，我们可以将函数的解析式化为正弦型函数的形式，进而根据正弦型函数的性质得到函数f(x)=

a

•(

a

-

b

)的值域．

解答：解：（1）a•b=sinx•cosx+1×(-

1

2

)=sinxcosx-

1

2

，∵a⊥b，∴a•b=0
即sinx•cosx-

1

2

=0，故sinx•cosx=

1

2

．|a+b|=

(sinx+cosx)2+(1- 1 2 )2

=

1+2sinxcosx+ 1 4

=

3

2

．
（2）f（x）=a•（a-b）=a2-a•b=sin2x+12-sinx•cosx+

1

2

=

3

2

+sin2x-sinx•cosx=

3

2

+

1-cos2x

2

-

sin2x

2

=2-

1

2

(sin2x+cos2x)=2-

2

2

sin(2x+

π

4

)．∵-1≤sin(2x+

π

4

)≤1，
∴2-

2

2

≤2-

2

2

sin(2x+

π

4

)≤2+

2

2

．故函数f（x）=a•（a-b）的值域为[2-

2

2

，2+

2

2

]．

点评：本题考查的知识点是平面向量数量积的运算，函数的值域，向量的模，其中熟练掌握平面向量的数量积公式，是处理本题的关键．