Question

已知函数f(x)=

3-x2(x＞0) 3(x=0) 2x+2(x＜0)

，
（1）画出函数f（x）图象；
（2）若f(x)＞

5

2

，求x的取值范围．

Answer 1

考点：其他不等式的解法,分段函数的解析式求法及其图象的作法

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）根据分段函数的解析式，分段画出图象即可；
（2）根据每一段的解析式分别进行讨论，列出不等关系，求解即可得到答案．

解答： 解：（1）∵函数f(x)=

3-x2(x＞0) 3(x=0) 2x+2(x＜0)

，
故作出f（x）的图象如图所示；
（2）∵函数f(x)=

3-x2(x＞0) 3(x=0) 2x+2(x＜0)

，
①当x＞0时，f（x）=3-x²，
则f(x)＞

5

2

，
即3-x²＞

5

2

，
整理可得x²＜

1

2

，
解得-

2

2

＜x＜

2

2

，
又∵x＞0，
∴x的取值范围为（0，

2

2

）；
②当x=0时，f（x）=3＞

5

2

，
∴x=0符合题意；
③当x＜0时，f（x）=2^x+2，
则f(x)＞

5

2

，即2^x+2＞

5

2

，
整理可得2^x＞

1

2

，解得x＞-1，
又∵x＜0，
∴x的取值范围为（-1，0）．
综合①②③可得，x的取值范围为(-1，

2

2

)．

点评：本题考查了分段函数的图象的画法，分段函数不等式的解法．对于分段函数的问题，一般选用分类讨论和数形结合的思想方法进行求解，根据分段函数的图象很容易得到相关的性质，若选用分类讨论的方法，则关键是讨论需用哪段解析式进行求解．属于中档题．