Question

设f（x）=lnx，g（x）=f（x）+f′（x）．
（1）求g（x）的单调区间和最小值；
（2）讨论g（x）与g（

1

x

）的大小关系．

Answer 1

考点：导数的运算

专题：导数的综合应用

分析：（1）利用导数研究函数g（x）的单调性极值最值即可得出．
（2）令h（x）=g（x）-g(

1

x

)=2lnx+

1

x

-x（x＞0）．可得h′（x）=

-(x-1)2

x2

≤0，函数h（x）在（0，+∞）上单调递减．由于h（1）=0，即可得出大小关系．

解答： 解：（1）f′(x)=

1

x

（x＞0）．
∴g（x）=lnx+

1

x

（x＞0）．
∴g′(x)=

1

x

-

1

x2

=

x-1

x2

，
令g′（x）=0，解得x=1．
当0＜x＜1时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减；当1＜x时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增．
∴当x=1时，函数g（x）取得极小值即最小值，g（1）=1．
综上可得：函数g（x）单调递减区间为（0，1）；函数g（x）单调递增区间为[1，+∞），最小值为1．
（2）g（x）=lnx+

1

x

（x＞0），g(

1

x

)=-lnx+x．
令h（x）=g（x）-g(

1

x

)=2lnx+

1

x

-x（x＞0）．
∴h′（x）=

2

x

-

1

x2

-1=

-(x-1)2

x2

≤0，
∴函数h（x）在（0，+∞）上单调递减．
当x=1时，h（1）=0，此时g（x）=g(

1

x

)．
当0＜x＜1时，h（1）＞0，此时g（x）＞g(

1

x

)．
当1＜x时，h（1）＜0，此时g（x）＜g(

1

x

)．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了分类讨论的思想方法、构造函数法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．