Question

（本题满分14分）
如图，正方形所在平面与圆所在平面相交于，线段为圆的弦，垂直于圆所在平面，垂足是圆上异于、的点，，圆的直径为9

（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）求二面角的平面角的正切值。

Answer 1

(Ⅰ)证明：∵垂直于圆所在平面，在圆所在平面上，
∴。
在正方形中，，
∵，∴平面．∵平面，
∴平面平面。……………………………………………6分
（Ⅱ）解法1：∵平面，平面，
∴。
∴为圆的直径，即．
设正方形的边长为，
在△中，，
在△中，，
由，解得，。∴。
过点作于点，作交于点，连结，
由于平面，平面，∴。∵，
∴平面。∵平面，
∴。∵，，
∴平面。∵平面，∴
∴是二面角的平面角。…………………………………10分
在△中，，，，
∵，∴。
在△中，，,∴。……………13分
故二面角的平面角的正切值为。…………………………14分
解法2：∵平面，平面，
∴。∴为圆的直径，即。
设正方形的边长为，在△中，，
在△中，，
由，解得，。∴。
以为坐标原点，分别以、所在的直线为轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，
，。……………8分
设平面的法向量为，
则即
取，则是平面的一个法向量。…………9分
设平面的法向量为，则即
取，则是平面的一个法向量。…………10分
,。
∴…………………………………………………………13分
故二面角的平面角的正切值为。………………………………14分

略