Question

【题目】已知函数， 为实常数．

(Ⅰ)设，当时，求函数的单调区间；

(Ⅱ)当时，直线、与函数、的图象一共有四个不同的交点，且以此四点为顶点的四边形恰为平行四边形．

求证： ．

Answer 1

【答案】(1)单调递增区间为，无单调递减区间；(2)证明见解析．

【解析】试题分析：（Ⅰ）求函数的导数 ，因为 ，所以显然 得到函数的单调区间；（Ⅱ）一组对边平行且相等的四边形为平行四边形，即 ，所以分析函数 ，根据函数的二阶导数可判断函数在为减函数，在为增函数，若 ，即一个根小于1，一个根大于1，即得结果.

试题解析：(Ⅰ) ，其定义域为

而，

当时， ，

故F(x)的单调递增区间为，无单调递减区间．

(Ⅱ)因为直线与平行，

故该四边形为平行四边形等价于且 ．

当时， ，

则．令

则 ，

故在上单调递增；

而，

故时单调递减； 时单调递增；

而，

故或0 < n <1< m，

所以．