题目内容
【题目】如图，四棱锥
中，侧面
底面
， 
， 
， 
, 
， 
，点
在棱
上，且
，点
在棱
上，且
平面
.
（1）求证： 
平面
；
（2）求二面角
的余弦值.
【答案】（1）详见解析（2）
【解析】试题分析：连接
交
于点
，根据三角形相识，可得
， 
，由勾股定理可得
是直角三角形，进而得
，再由面面垂直判定定理可得结论；（2）以
， 
， 
所在直线分别为
轴， 
轴， 
轴建立空间直角坐标系，求出平面
的法向量与平面
的法向量，利用空间向量夹角余弦公式可得结果.
试题解析：（1）如图连接
交
于点
，因为
平面
，所以
，由
，所以
，又
，所以
，
所以
， 
，
又因为
，所以
是直角三角形，
又
，所以
，
又因为侧面
底面
，所以
平面
.
（2）因为
， 
，所以
，有
，如图，以
， 
， 
所在直线分别为
轴， 
轴， 
轴建立空间直角坐标系，
则
， 
， 
，
，所以
，
所以
，
设平面
的法向量为
，
则
，
，令
，则
，所以
，
又因为平面
的法向量
，
所以
，
即所求二面角的余弦值是
.
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