Question

【题目】如图，以为顶点的六面体中， 和均为等边三角形，且平面平面， 平面， ， .

（1）求证： 平面；

（2）求此六面体的体积.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2) 2．

【解析】试题分析：（Ⅰ）作 ,交于，连结 ，根据条件证明四边形是平行四边形；（Ⅱ）将此六面体分成两个三棱锥的体积和 ，根据（Ⅰ）的结果可知点到平面的距离是，点到平面的距离是，这样求体积和.

试题解析：(Ⅰ)作，交于，连结．

因为平面平面，

所以平面，

又因为平面，

从而．

因为是边长为2的等边三角形，

所以，

因此，

于是四边形为平行四边形，

所以，

因此平面．

(Ⅱ) 因为是等边三角形，

所以是中点，

而是等边三角形，

因此，

由平面，知，

从而平面，

又因为，

所以平面，

因此四面体的体积为，

四面体的体积为，

而六面体的体积=四面体的体积+四面体的体积

故所求六面体的体积为2