Question

证明下列恒等式：
（1）（cosα-1）²+sin²α=2-2cosα；
（2）（tan²α-sin²α）cot²α=sin²α；
（3）（cosα-cosβ）²+（sinα-sinβ）²=2-2（cosαcosβ+sinαsinβ）；
（4）

1+cot2α

1-cot2α

=

1

2sin2α-1

．

Answer 1

考点：三角函数恒等式的证明

专题：三角函数的求值

分析：利用同角三角函数基本关系式即可证明．

解答： 证明：（1）左边=（cosα-1）²+sin²α=cos²α-2cosα+1+sin²α=2-2cosα=右边，∴等式成立；
（2）左边=（tan²α-sin²α）cot²α=1-

sin2α•cos2α

sin2α

=1-cos²α=sin²α=右边，∴等式成立；
（3）左边=（cosα-cosβ）²+（sinα-sinβ）²=cos²α+cos²β-2cosαcosβ+sin²α+sin²β-2sinαsinβ
=2-2（cosαcosβ+sinαsinβ）=右边，∴等式成立；
（4）左边=

1+ cos2α sin2α

1- cos2α sin2α

=

1

cos2α-sin2α

=

1

2sin2α-1

=右边，∴等式成立．

点评：本题考查了同角三角函数基本关系式证明恒等式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．