Question

（2013•青岛一模）现有长分别为1m、2m、3m的钢管各3根（每根钢管质地均匀、粗细相同且附有不同的编号），从中随机抽取n根（假设各钢管被抽取的可能性是均等的，1≤n≤9），再将抽取的钢管相接焊成笔直的一根．
（Ⅰ）当n=3时，记事件A={抽取的3根钢管中恰有2根长度相等}，求P（A）；
（Ⅱ）当n=2时，若用ξ表示新焊成的钢管的长度（焊接误差不计），
①求ξ的分布列；
②令η=-λ²ξ+λ+1，E（η）＞1，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）总的基本事件数为

C

3 9

，事件A，可从三类中任取一类，再从该类的3个中任取2个，然后再从其余两类的6个中任取1个，由分步计数原理可得种数，进而可得概率；（Ⅱ）①ξ可能的取值为2，3，4，5，6，分别求其概率可得分布列；②易求得期望E（ξ），进而可得E（η），由E（η）＞1可得关于λ的不等式，解之可得．

解答：解：（Ⅰ）当n=3时，即从9根中抽取3根，故总的基本事件数为

C

3 9

，
事件A，可从三类中任取一类共

C

1 3

种，再从该类的3个中任取2个共

C

2 3

种，
然后再从其余两类的6个中任取1个共

C

1 6

种，故总共

C

1 3

C

2 3

C

1 6

种，
故P（A）=

C 1 3 C 2 3 C 1 6

C 3 9

=

9

14

…（4分）
（Ⅱ）①由题意可知：ξ可能的取值为2，3，4，5，6，
同（Ⅰ）的求解方法可得：P（ξ=2）=

C 2 3

C 2 9

=

1

12

，P（ξ=3）=

C 1 3 C 1 3

C 2 9

=

1

4

，
P（ξ=4）=

C 2 3 + C 1 3 C 1 3

C 2 9

=

1

3

，P（ξ=5）=

C 1 3 C 1 3

C 2 9

=

1

4

，P（ξ=6）=

C 2 3

C 2 9

=

1

12

，
故ξ的分布列为：

ξ	2	3	4	5	6
P	1 12	1 4	1 3	1 4	1 12

…（9分）
②E（ξ）=2×

1

12

+3×

1

4

+4×

1

3

+5×

1

4

+6×

1

12

=4    …（10分）
∵η=-λ²ξ+λ+1，∴E（η）=-λ²E（ξ）+λ+1=-4λ²+λ+1，
∵E（η）＞1，∴-4λ²+λ+1＞1，解得0＜λ＜

1

4

…（12分）

点评：本题考查离散型随即变量及其分布列，涉及数学期望的求解，属中档题．