Question

在平面直角坐标系中，不等式

x+y≥0 x-y+4≥0 x≤1

表示的平面区域面积是n，则二项式（x-

2

x

）ⁿ展开式中x³项的系数是（　　）

• A、-672
• B、-84
• C、84
• D、672

Answer 1

考点：二项式定理,简单线性规划

专题：数形结合,二项式定理

分析：由约束条件作出可行域，求出三角形的面积得到n的值，写出二项式的通项，由x的指数为3求得r值，则答案可求．

解答： 解：由不等式

x+y≥0 x-y+4≥0 x≤1

作出表示的平面区域如图，
联立

x+y=0 x-y+4=0

，解得：

x=-2 y=2

，则C（-2，2）．
联立

x=1 x+y=0

，解得

x=1 y=-1

，则A（1，-1）．
联立

x=1 x-y+4=0

，解得

x=1 y=5

．
∴平面区域面积n=

1

2

×|5-（-1）|×|1-（-2）|=9．
代入（x-

2

x

）ⁿ得(x-

2

x

)9．
Tr+1=

C

r 9

x9-r(-

2

x

)r=(-2)r

C

r 9

x9-2r，
由9-2r=3，得r=3．
∴二项式（x-

2

x

）ⁿ展开式中x³项的系数是(-2)3

C

3 9

=-672．
故选：A．

点评：本题考查了简单的线性规划，考查了二项展开式的通项公式，体现了数形结合的解题思想方法，是中档题．