Question

设椭圆C∶＋＝1(a>b>0)过点(0,4)，离心率为.
(1)求C的方程；
(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标．

Answer 1

(1)＋＝1；(2) (，－)．

试题分析：(1)由已知可得b＝4，再由在椭圆中有：及离心率，可求得a的值，从而就可写出椭圆C的方程；(2)由已知可写出过点(3,0)且斜率为的直线方程，将此直线方程代入椭圆C的方程中，解此方程就可求得直线被C所截线段的两个端点的横坐标，从而求得线段中点的横坐标，再代入直线方程就可得到线段中点的纵坐标，若方程不好解，注意韦达定理可直接求得所求线段中点的横坐标，进而可得线段中点的坐标．
试题解析：(1)将(0,4)代入C的方程得＝1，∴b＝4，
由e＝＝得＝，即1－＝，∴a＝5，∴C的方程为＋＝1.
(2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为 y ＝(x－3)，设直线与C的交点为A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，将直线方程y＝ (x－3)代入C的方程，得＋＝1，即x²－3x－8＝0，解得
x₁＝，x₂＝，
∴AB的中点坐标＝＝，
＝＝(x₁＋x₂－6)＝－，
即中点坐标为(，－)．