Question

10．在二项式（1-2x）ⁿ（n∈N^*）的展开式中，偶数项的二项式系数之和为128．
（1）求展开式中的二项式系数最大项；
（2）若展开式的第二项大于第三项，求x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由条件利用二项式系数的性质，求得n的值，从而求得展开式中的二项式系数最大项．
（2）由题意可得${C}_{8}^{1}$•（-2x）＞${C}_{8}^{2}$•（-2x）²，由此求得x的范围．

解答 解：（1）∵二项式（1-2x）ⁿ（n∈N^*）的展开式中，偶数项的二项式系数之和为 2^n-1=128，
∴n=8，故展开式中的二项式系数最大项为T₅=${C}_{8}^{4}$•（-2x）⁴=1120x⁴，
（2）若展开式的第二项大于第三项，则${C}_{8}^{1}$•（-2x）＞${C}_{8}^{2}$•（-2x）²，
求得-$\frac{1}{7}$＜x＜0．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．