Question

已知曲线C₁的极坐标方程为ρ=4cosθ，C₂的极坐标方程为ρsin（θ+

π

4

）=

2

2

，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l经过C₂与x轴的交点；
（1）求C₁的参数方程，并写出直线l的一个参数方程；
（2）若直线l与C₁交于A，B两点，|AB|≤

14

，求直线l的倾斜角的取值范围．

Answer 1

考点：简单曲线的极坐标方程,参数方程化成普通方程

专题：选作题,坐标系和参数方程

分析：（1）曲线C₁的极坐标方程，化为直角坐标，再求C₁的参数方程，求出C₂的直角坐标，可得直线l经过C₂与x轴的交点，从而写出直线l的一个参数方程；
（2）设直线l：y=k（x-1），即kx-y-k=0，直线l与C₁交于A，B两点，|AB|≤

14

，可得圆心到直线的距离≥

22-( 14 2 )2

=

2

2

，从而

|k|

k2+1

≥

2

2

，求出k的范围，即可求直线l的倾斜角的取值范围．

解答： 解：（1）曲线C₁的极坐标方程为ρ=4cosθ，可化为ρ²=4ρcosθ，即x²+y²=4x，
即（x-2）²+y²=4，
∴C₁的参数方程为

x=2+2cosα y=2sinα

（α为参数）；
C₂的极坐标方程为ρsin（θ+

π

4

）=

2

2

，可化为x+y-1=0，
令y=0，可得x=1，∴直线l的一个参数方程为

x=1+tcosθ y=tsinθ

（θ为参数）；
（2）设直线l：y=k（x-1），即kx-y-k=0，则
∵直线l与C₁交于A，B两点，|AB|≤

14

，
∴圆心到直线的距离≥

22-( 14 2 )2

=

2

2

，
∴

|k|

k2+1

≥

2

2

，
∴k²≥1，
∴k≤-1或k≥1，
又k不存在时也满足题意，
∴直线l的倾斜角的取值范围为[

π

4

，

3π

4

]．

点评：本题考查极坐标方程、参数方程、直角坐标方程之间的互化、应用．考查了直线、圆的基本知识，属于中档题．