Question

【题目】（题文）已知椭圆的离心率为，过点的直线交椭圆与两点，，且当直线垂直于轴时，.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若，求弦长的取值范围.

Answer 1

【答案】(1) .

(2) .

【解析】

试题分析：圆锥曲线中求范围问题的关键是建立求解关于某个变量的目标函数，通过求这个函数的值域确定目标的范围．在建立函数的过程中要根据题目的其他已知条件，把需要的量都用我们选用的变量表示，有时为了运算的方便，在建立关系的过程中也可以采用多个变量，只要在最后结果中把多变量归结为单变量即可，同时要特别注意变量的取值范围．

试题解析：（Ⅰ）由已知：，，

又当直线垂直于轴时，，所以椭圆过点，

代入椭圆：，

在椭圆中知：,联立方程组可得：，

所以椭圆的方程为：.

（Ⅱ）当过点直线斜率为0时,点、分别为椭圆长轴的端点,

或,不合题意.

所以直线的斜率不能为0.

可设直线方程为： ，

将直线方程代入椭圆得:

，由韦达定理可得：

，

将（1）式平方除以（2）式可得：

由已知可知，，

，

所以，

又知，，

，解得：.

，，

.