Question

【题目】已知函数f（x）＝x+2﹣2cosx

（1）求函数f（x）在[，]上的最值：

（2）若存在x∈（0，）使不等式f（x）≤ax成立，求实数a的取值范围

Answer 1

【答案】（1）f（x）min＝2，f（x）max＝2；（2）（1，+∞）．

【解析】

(1)求导后分析导数的正负再求得函数的单调性与最值即可.

(2)设,再代入,求导得的值域为,再根据的范围进行讨论,分析的最大值即可.

（1）f'（x）＝1+2sinx,

当x时,由f'（x）＜0得,,由f'（x）＞0得,,

∴函数f（x）在[,）上单调递减,在（,]上单调递增,

∴f（x）min＝f（）＝2,f（x）max＝f（）＝2；

（2）存在x∈（0,）使不等式f（x）≤ax成立,即x+2﹣2cosx＜ax成立,

设g（x）＝f（x）﹣ax＝x+2﹣2cosx﹣ax,则g（0）＝0,g'（x）＝1+2sinx﹣a,

当x∈（0,）时,1+2sinx∈（1,3）,所以g'（x）∈（1﹣a,3﹣a）,

由于1﹣a≥0即a≤1时,g'（x）＞0,则g（x）＞g（0）＝0,即f（x）＞ax恒成立,不满足题意,

故1﹣a＜0,即a＞1,此时g'（0）＝1﹣a＜0,

因为g'（x）＝1+2sinx﹣a在（0,）上单调递增,

所以存在区间（0,t）（0,）,使x∈（0,t）时,g'（x）＜0,

所以g（x）在（0,t）上单调递增,则当x∈（0,t）时,g（x）＜g（0）＝0,即f（x）＜ax,

所以实数a的取值范围是（1,+∞）．