题目内容
【题目】在平面直角坐标系
中，已知椭圆
的焦距为4，且过点
．
（1）求椭圆
的方程
（2）设椭圆的上顶点为
，右焦点为
，直线
与椭圆交于
、
两点，问是否存在直线，使得为
的垂心，若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．
【答案】（1）
；（2）存在直线
满足题设条件,详见解析
【解析】
（1）由已知列出关于
，
，
的方程组，解得，，，写出结果即可；
（2）由已知可得，
，
．所以
，因为
，所以可设直线
的方程为
，代入椭圆方程整理，得
．设
，
，
，
，由根与系数的关系写出两根之和和两根之积的表达式，再由垂心的性质列出方程求解即可．
（1）由已知可得，
解得
，
，
，所以椭圆
的方程为．
（2）由已知可得，
，∴.∵，
∴可设直线的方程为，代入椭圆方程整理，
得.设
，
则
，∵
.
即
∵
即
，∵
∴
或
.
由
，得
又时，直线过
点，不合要求，∴
，
故存在直线满足题设条件.
练习册系列答案
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人，将调查情况进行整理后制成下表：
年龄（岁） |
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频数 |
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赞成人数 |
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（
）完成被调查人员的频率分布直方图．
（
）若从年龄在
，
的被调查者中各随机选取人进行追踪调查，求恰有人不赞成的概率．
（
）在
在条件下，再记选中的
人中不赞成“车辆限行”的人数为
，求随机变量的分布列和数学期望．
