Question

8．已知正三棱柱的底面边长和高都是2，则此三棱柱外接球的表面积为$\frac{28π}{3}$．
′．

Answer 1

分析 作出图形，由正三棱柱的性质可知外接球的球心为棱柱上下底面中心连线的中点，利用勾股定理求出球的半径，得出球的表面积．

解答 解：取三棱柱ABC-A′B′C′的两底面中心O，O′，连结OO′，取OO′的中点D，连结BD
则BD为三棱柱外接球的半径．
∵△ABC是边长为2的正三角形，O是△ABC的中心，
∴BO=$\frac{2}{3}×\sqrt{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
又∵OD=$\frac{1}{2}OO′=\frac{1}{2}AA′$=1，
∴BD=$\sqrt{O{B}^{2}+O{D}^{2}}$=$\sqrt{\frac{7}{3}}$=$\frac{\sqrt{21}}{3}$．
∴三棱柱外接球的表面积S=4π×BD²=$\frac{28π}{3}$．
故答案为：$\frac{28}{3}π$．

点评 本题考查了多面体与外接球的关系，球的体积计算，属于中档题．