Question

18．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=AA₁=2，D为侧棱AA₁的中点；
（1）求证：AC⊥平面BCC₁B₁；
（2）求异面直线B₁D与AC所成角的大小．

Answer 1

分析 （1）由已知推导出AC⊥BC，CC₁⊥AC，由此能证明AC⊥平面BCC₁B₁．
（2）以C为原点，直线CA、CB、CC₁为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线B₁D与AC所成角的大小．

解答 证明：（1）∵底面△ABC是等腰直角三角形，且AC=BC，
∴AC⊥BC，
∵CC₁⊥平面A₁B₁C₁，∴CC₁⊥AC，
∵CC₁∩BC=C，∴AC⊥平面BCC₁B₁．
解：（2）以C为原点，直线CA、CB、CC₁为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，
则C（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），C₁（0，0，2），B₁（0，2，2），D（2，0，1），
$\overrightarrow{{B}_{1}D}$=（2，-2，-1），$\overrightarrow{AC}$=（-2，0，0），
设异面直线B₁D与AC所成角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{B{D}_{1}}|}{|\overrightarrow{AC}|•|\overrightarrow{{B}_{1}D}|}$=$\frac{|-4|}{\sqrt{9}•2}$=$\frac{2}{3}$．
∴$θ=arccos\frac{2}{3}$．
∴异面直线B₁D与AC所成角的大小为arccos$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查异面直线所成角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．