Question

11．过椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{3}}{3}$=1的左焦点F作直线交椭圆于A，B两点，且$\overrightarrow{BF}$=2$\overrightarrow{FA}$，则三角形0AB的面积是（0为坐标原点）$\frac{9\sqrt{5}}{16}$．

Answer 1

分析 设直线AB的参数方程，代入椭圆的方程，利用韦达定理、$\overrightarrow{BF}$=2$\overrightarrow{FA}$，求出直线的斜率，可得直线的方程，即可求出三角形0AB的面积．

解答 解：F（-1，0），设直线AB的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t为参数），
代入椭圆的方程可得3（-1+tcosα）²+4（tsinα）²=12，
化为（3+sin²α）t²-6tcosα-9=0，
∴t₁+t₂=$\frac{6cosα}{3+si{n}^{2}α}$，t₁t₂=$\frac{-9}{3+si{n}^{2}α}$．
∵t₁=-2t₂，
∴代入化简可得cosα=$\frac{2}{3}$，
∴tanα=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴直线AB的方程为y=$\frac{\sqrt{5}}{2}$（x+1），
∵|t₁-t₂|=$\frac{27}{8}$，O到直线AB的距离d=$\frac{\frac{\sqrt{5}}{2}}{\sqrt{\frac{5}{4}+1}}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
∴三角形0AB的面积是$\frac{1}{2}×\frac{27}{8}×\frac{\sqrt{5}}{3}$=$\frac{9\sqrt{5}}{16}$．
故答案为：$\frac{9\sqrt{5}}{16}$．

点评 本题考查了直线的参数方程应用、直线与椭圆相交弦长问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．