Question

对于三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），给出定义：设f′（x）是函数y=f（x）的导数，f″是f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x₀，则称点（x₀，f（x₀））为函数y=f（x）的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．请你根据这一发现，求：函数f(x)=

1

3

x3-

1

2

x2+3x-

5

12

对称中心为

（

1

2

，1）

．

Answer 1

分析：先求f′（x）得解析式，再求f″（x），由f″（x）=0 求得拐点的横坐标，代入函数解析式求拐点的纵坐标．

解答：解：依题意，得：f′（x）=x²-x+3，∴f″（x）=2x-1．
由f″（x）=0，即2x-1=0．
∴x=

1

2

，
又 f（

1

2

）=1，
∴函数f(x)=

1

3

x3-

1

2

x2+3x-

5

12

对称中心为（

1

2

，1）
故答案为：（

1

2

，1）

点评：本题考查一阶导数、二阶导数的求法，函数的拐点的定义以及函数图象关于某点对称的条件．