Question

（2013•昌平区二模）对于三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），给出定义：设f′（x）是函数y=f（x）的导数，f″（x）是函数f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x₀，则称（x₀，f（x₀））为函数y=f（x）的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．给定函数f(x)=

1

3

x3-

1

2

x2+3x-

5

12

，请你根据上面探究结果，解答以下问题
（1）函数f（x）=

1

3

x³-

1

2

x²+3x-

5

12

的对称中心为

（

1

2

，1）

；
（2）计算f(

1

2013

)+f(

2

2013

)+f(

3

2013

)+…+f（

2012

2013

）=

2012

．

Answer 1

分析：（1）根据函数f（x）的解析式求出f′（x）和f″（x），令f″（x）=0，求得x的值，由此求得三次函数f（x）=

1

3

x³-

1

2

x²+3x-

5

12

的对称中心．
（2）由f（x）=

1

3

x³-

1

2

x²+3x-

5

12

的对称中心为（

1

2

，1），知f（x）+f（1-x）=2，由此能够求出f(

1

2013

)+f(

2

2013

)+f(

3

2013

)+…+f（

2012

2013

）．

解答：解：（1）∵f（x）=

1

3

x³-

1

2

x²+3x-

5

12

，
∴f′（x）=x²-x+3，f''（x）=2x-1，
令f''（x）=2x-1=0，得x=

1

2

，
∵f（

1

2

）=

1

3

×(

1

2

)3-

1

2

×(

1

2

)2-

5

12

+3×

1

2

=1，
∴f（x）=

1

3

x³-

1

2

x²+3x-

5

12

的对称中心为（

1

2

，1），
（2）∵f（x）=

1

3

x³-

1

2

x²+3x-

5

12

的对称中心为（

1

2

，1），
∴f（x）+f（1-x）=2，
∴f(

1

2013

)+f(

2

2013

)+f(

3

2013

)+…+f（

2012

2013

）=2×1006=2012．
故答案为：（

1

2

，1），2012．

点评：本小题主要考查函数与导数等知识，考查化归与转化的数学思想方法，考查化简计算能力，求函数的值以及函数的对称性的应用，属于难题．