题目内容
（2013•安庆三模）对于三次函数f（x）-ax3+bx2+cx+d（a≠0），给出定义：设ft（x）是函数y=f（x）的导数，ftt（x）是函数ft的导数，若方程ftt（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个一元三次函数都有“拐点”；且该“拐点”也为该函数的对称中心．若f（x）=x3-
x2+
x+1，则f（
）+f（
）+…+f（
）=（ ）
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| 1 |
| 2014 |
| 2 |
| 2014 |
| 2013 |
| 2014 |
分析：求出原函数的导函数，再求出导函数的导函数，由导函数的导函数等于0求出x的值，可得f（1-x）+f（x）=2，从而得到f（
）+f（
）+…+f（
）的值．
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| 2014 |
| 2 |
| 2014 |
| 2013 |
| 2014 |
解答：解：由f（x）=x3-
x2+
x+1，得f′(x)=3x2-3x+
，
所以f′′（x）=6x-3，由f′′（x）=6x-3=0，得x=
．
∴f(
)=1，∴f（x）的对称中心为（
，1），
∴f（1-x）+f（x）=2，
∴f(
)+f(
)=f(
)+f(
)=…=2f(
)=2．
∴f（
）+f（
）+…+f（
）=2013．
故选C．
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| 2 |
| 1 |
| 2 |
所以f′′（x）=6x-3，由f′′（x）=6x-3=0，得x=
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∴f(
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∴f（1-x）+f（x）=2，
∴f(
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| 2014 |
| 2013 |
| 2014 |
| 2 |
| 2014 |
| 2012 |
| 2014 |
| 1007 |
| 2014 |
∴f（
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| 2014 |
| 2 |
| 2014 |
| 2013 |
| 2014 |
故选C．
点评：本题是新定义题，考查了函数导函数的零点的求法，考查了函数的性质，解答的关键是寻找函数值所满足的规律，是中档题．
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