题目内容
对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），定义：设f''（x）是函数y=f（x）的导数f′（x）的导数，若方程f''（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．有同学发现“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心”，且‘拐点’就是对称中心．请你将这一发现作为条件．
（1）．函数f（x）=x3-3x2+3x的对称中心为
（2）．若函数g(x)=
x3-
x2+3x-
+
，则g(
)+g(
)+g(
)+…+g(
)=
（1）．函数f（x）=x3-3x2+3x的对称中心为
（1，2）
（1，2）
．（2）．若函数g(x)=
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 5 |
| 12 |
| 1 | ||
x-
|
| 1 |
| 2013 |
| 2 |
| 2013 |
| 3 |
| 2013 |
| 2012 |
| 2013 |
2012
2012
．分析：（1）根据“拐点”的定义求出f''（x）=0的根，然后代入函数解析式可求出“拐点”的坐标．
（2）先求出函数的对称中心，利用对称中心的性质可得答案；
（2）先求出函数的对称中心，利用对称中心的性质可得答案；
解答：解：（1）依题意，f'（x）=3x2-6x+3，
∴f''（x）=6x-6．
由f''（x）=0，即6x-6=0，解得x=1，
又 f（1）=2，
∴f（x）=x3-3x2+2x+2的“拐点”坐标是（1，2）．
∴函数f（x）=x3-3x2+3x的对称中心为（1，2）；
故答案为：（1，2）；
（2）∵g（x）+g（1-x）=
x3-
x2+3x-
+
+
(1-x)3-
(1-x)2+3（1-x）-
+
=2，
∴g（x）的图象关于点（
，1）对称，
∴g（
）+g（
）+g（
）+…+g（
）
=[g（
）+g（
）]+[g（
）+g（
）]+…+[g（
）+g（
）]
=2×1006=2012，
故答案为：2012．
∴f''（x）=6x-6．
由f''（x）=0，即6x-6=0，解得x=1，
又 f（1）=2，
∴f（x）=x3-3x2+2x+2的“拐点”坐标是（1，2）．
∴函数f（x）=x3-3x2+3x的对称中心为（1，2）；
故答案为：（1，2）；
（2）∵g（x）+g（1-x）=
| 1 |
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| 1 |
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| 5 |
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| 1 | ||
x-
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| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 5 |
| 12 |
| 1 | ||
1-x-
|
∴g（x）的图象关于点（
| 1 |
| 2 |
∴g（
| 1 |
| 2013 |
| 2 |
| 2013 |
| 3 |
| 2013 |
| 2012 |
| 2013 |
=[g（
| 1 |
| 2013 |
| 2012 |
| 2013 |
| 2 |
| 2013 |
| 2011 |
| 2013 |
| 1006 |
| 2013 |
| 1007 |
| 2013 |
=2×1006=2012，
故答案为：2012．
点评：本题在函数、导数、方程的交汇处命题，具有较强的预测性，而且设问的方式具有较大的开放性，情景新颖，解题的关键是：深刻理解函数“拐点”的定义和函数图象的对称中心的意义．其本质是：任何一个三次函数都有拐点；任何一个三次函数都有对称中心；且任何一个三次函数的拐点就是它的对称中心．
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