题目内容
对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),定义:设f''(x)是函数y=f(x)的导数f′(x)的导数,若方程f''(x)=0有实数解x0,则称点(x0,f(x0))为函数y=f(x)的“拐点”.有同学发现“任何一个三次函数都有‘拐点’;任何一个三次函数都有对称中心”,且‘拐点’就是对称中心.请你将这一发现作为条件.
(1).函数f(x)=x3-3x2+3x的对称中心为
(2).若函数g(x)=
x3-
x2+3x-
+
,则g(
)+g(
)+g(
)+…+g(
)=
(1).函数f(x)=x3-3x2+3x的对称中心为
(1,2)
(1,2)
.(2).若函数g(x)=
1 |
3 |
1 |
2 |
5 |
12 |
1 | ||
x-
|
1 |
2013 |
2 |
2013 |
3 |
2013 |
2012 |
2013 |
2012
2012
.分析:(1)根据“拐点”的定义求出f''(x)=0的根,然后代入函数解析式可求出“拐点”的坐标.
(2)先求出函数的对称中心,利用对称中心的性质可得答案;
(2)先求出函数的对称中心,利用对称中心的性质可得答案;
解答:解:(1)依题意,f'(x)=3x2-6x+3,
∴f''(x)=6x-6.
由f''(x)=0,即6x-6=0,解得x=1,
又 f(1)=2,
∴f(x)=x3-3x2+2x+2的“拐点”坐标是(1,2).
∴函数f(x)=x3-3x2+3x的对称中心为(1,2);
故答案为:(1,2);
(2)∵g(x)+g(1-x)=
x3-
x2+3x-
+
+
(1-x)3-
(1-x)2+3(1-x)-
+
=2,
∴g(x)的图象关于点(
,1)对称,
∴g(
)+g(
)+g(
)+…+g(
)
=[g(
)+g(
)]+[g(
)+g(
)]+…+[g(
)+g(
)]
=2×1006=2012,
故答案为:2012.
∴f''(x)=6x-6.
由f''(x)=0,即6x-6=0,解得x=1,
又 f(1)=2,
∴f(x)=x3-3x2+2x+2的“拐点”坐标是(1,2).
∴函数f(x)=x3-3x2+3x的对称中心为(1,2);
故答案为:(1,2);
(2)∵g(x)+g(1-x)=
1 |
3 |
1 |
2 |
5 |
12 |
1 | ||
x-
|
1 |
3 |
1 |
2 |
5 |
12 |
1 | ||
1-x-
|
∴g(x)的图象关于点(
1 |
2 |
∴g(
1 |
2013 |
2 |
2013 |
3 |
2013 |
2012 |
2013 |
=[g(
1 |
2013 |
2012 |
2013 |
2 |
2013 |
2011 |
2013 |
1006 |
2013 |
1007 |
2013 |
=2×1006=2012,
故答案为:2012.
点评:本题在函数、导数、方程的交汇处命题,具有较强的预测性,而且设问的方式具有较大的开放性,情景新颖,解题的关键是:深刻理解函数“拐点”的定义和函数图象的对称中心的意义.其本质是:任何一个三次函数都有拐点;任何一个三次函数都有对称中心;且任何一个三次函数的拐点就是它的对称中心.

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