Question

17．幂函数y=x^a，当a取不同的正数时，在区间[0，1]上它们的图象是一组美丽的曲线（如图），设点A（1，0），B（0，1），连结AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y=x^a，y=x^b的图象三等分，即有BM=MN=NA，那么a-$\frac{1}{b}$=（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． $\frac{1}{2}$
• D． 2

Answer 1

分析 先根据题意结合图形确定M、N的坐标，然后分别代入y=x^a，y=x^b求得a，b；最后再求a-$\frac{1}{b}$的值即得．

解答 解：BM=MN=NA，点A（1，0），B（0，1），
所以M （$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$），N （$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{3}$），
分别代入y=x^a，y=x^b，a=${log}_{\frac{2}{3}}^{\frac{1}{3}}$，b=${log}_{\frac{1}{3}}^{\frac{2}{3}}$，
∴a-$\frac{1}{b}$=${log}_{\frac{2}{3}}^{\frac{1}{3}}$-$\frac{1}{{log}_{\frac{1}{3}}^{\frac{2}{3}}}$=0．
故选：A．

点评 本题考查指数与对数的互化，幂函数的图象，考查数形结合思想，是基础题．