Question

在平面直角坐标系中，已知椭圆与直线相交于两点（从左至右），过点作轴的垂线，垂足为，直线交椭圆于另一点．

（1）若椭圆的离心率为，点的坐标为，求椭圆的方程；

（2）若以为直径的圆恰好经过点，求椭圆的离心率．

Answer 1

（1）由题意，，解得，所以椭圆的方程为．

（2）方法一：设，则，．

因为三点共线，所以，

由，

得，即．

又均在椭圆上，

有，  

①—②，得，

所以直线的斜率，

由于以为直径的圆恰好经过点，

所以，即，所以，

所以椭圆的离心率．

方法二：设，则，

所以直线的方程为．

由，消，得，

即，

所以，

从而，即，

所以直线的斜率，

由于以为直径的圆恰好经过点，

所以，即，所以，

所以椭圆的离心率．