Question

已知集合A={x|x²-ax+a²-19=0}，B={x|x²-5x+6=0}是否存在实数a使得集合A，B能同时满足以下三个条件：①A≠∅；②A∪B=B；③A≠B．若存在，求出这样的实数a；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：集合的包含关系判断及应用

专题：集合

分析：集合B可以求出，由A是非空集合，且A中所有元素应是B中的元素，同时A中的元素可以是唯一的，解题时可基于以上思路进行．

解答： 解：由已知条件得，B={2，3}，又A∪B=B，且A≠B，
∴A?B．   （2分）
又∵A≠∅，
∴A={2}或A={3}
当A={2}时，
将x=2代入方程x²-ax+a²-19=0，得a=-3或a=5，（4分）
若a=-3，则A={2，-5}；
若a=5，则A={2，3}，
均与A={2}矛盾，
∴a≠-3且a≠5；．          （7分）．
当A={3}时，
将x=3代入方程x²-ax+a²-19=0，得a=-2或a=5，（8分）
若a=-2，则A={3，-5}；
若a=5，则A={2，3}，
均与A={3}矛盾，
∴a≠-2且a≠5．                    （11分）
综上所述，满足条件的实数a不存在．   （12分）

点评：本题考查的知识点是集合包含关系判断及应用，集合元素的互异性，难度不大，属于基础题．