Question

16．已知幂函数$f（x）={（m-1）^2}{x^{{m^2}-4m+2}}$在（0，+∞）上单调递增，函数g（x）=2^x-t，?x₁∈[1，6）时，总存在x₂∈[1，6）使得f（x₁）=g（x₂），则t的取值范围是（　　）

• A． ∅
• B． t≥28或t≤1
• C． t＞28或t＜1
• D． 1≤t≤28

Answer 1

分析 根据幂函数的定义以及函数的单调性求出f（x）的解析式，分别求出f（x），g（x）的值域，问题转化为[1，36）⊆[2-t，64-t），求出t的范围即可．

解答 解：由f（x）是幂函数得：m=0或2，
而$f（x）={（m-1）^2}{x^{{m^2}-4m+2}}$在（0，+∞）上单调递增，
则f（x）=x²，
x∈[1，6）时，f（x）∈[1，36），
x∈[1，6）时，g（x）∈[2-t，64-t），
若?x₁∈[1，6）时，总存在x₂∈[1，6）使得f（x₁）=g（x₂），
则[1，36）⊆[2-t，64-t），
故$\left\{\begin{array}{l}{2-t≤1}\\{64-t≥36}\end{array}\right.$，解得：1≤t≤28，
故选：D．

点评 本题考查了幂函数的定义以及函数的单调性问题，考查求函数的值域问题以及集合的包含关系，是一道中档题．