Question

f（x）=2sinx•cosx-2

3

cos2x+

3

．
（1）求此函数的最小正周期；
（2）求此函数在区间[-

π

4

，

π

4

]上的值域．

Answer 1

考点：二倍角的余弦,二倍角的正弦,三角函数的周期性及其求法,正弦函数的单调性

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）化简可得f（x）=2sin（2x-

π

3

），从而可求函数的最小正周期；
（2）由x∈[-

π

4

，

π

4

]，可求得：2x-

π

3

∈[-

5π

6

，

π

6

]，从而可求得函数在区间[-

π

4

，

π

4

]上的值域．

解答： 解：（1）∵f（x）=2sinx•cosx-2

3

cos2x+

3

=sin2x-

3

cos2x=2sin（2x-

π

3

）
∴函数的最小正周期T=

2π

2

=π
（2）∵x∈[-

π

4

，

π

4

]
∴可求得：2x-

π

3

∈[-

5π

6

，

π

6

]
∴-1≤sin（2x-

π

3

）≤

1

2

∴-2≤2sin（2x-

π

3

）≤1
∴函数在区间[-

π

4

，

π

4

]上的值域为：[-2，1]．

点评：本题主要考察了正弦函数的单调性，二倍角的余弦，二倍角的正弦，三角函数的周期性及其求法，属于基本知识的考查．