Question

已知函数f（x）=（x-e）（lnx-1）（e为自然对数的底数）．
（Ⅰ）求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；
（Ⅱ）若m是f（x）的一个极值点，且点A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））满足条件：ln（x₁•x₂）=lnx₁•lnx₂+2．
（ⅰ）求m的值；
（ⅱ）求证：点A，B，P（m，f（m））是三个不同的点，且构成直角三角形．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（I）利用导数的几何意义求出切线的斜率，即可得出切线方程；
（II）（i）对于f′(x)=lnx-

e

x

，定义域为（0，+∞）．分类讨论：当0＜x＜e时，当x=e时，当x＞e时，函数f（x）的单调性即可得出极值点．
（ii）若x₁=e，与条件lnx₁•x₂=lnx₁•lnx₂+2不符，从而得x₁≠e．同理可得x₂≠e． 若x₁=x₂，由lnx₁•x₂=lnx₁•lnx₂+2⇒(lnx1)2-2lnx1+2=0，此方程无实数解，从而得x₁≠x₂． 由上可得点A，B，P两两不重合．再证明

PA

•

PB

=0即可．

解答： 解：（Ⅰ）f′(x)=lnx-

e

x

，
f'（1）=-e，又f（1）=e-1，
∴曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为y-（e-1）=-e（x-1），
即ex+y-2e+1=0．                                    
（Ⅱ）（ⅰ）对于f′(x)=lnx-

e

x

，定义域为（0，+∞）．
当0＜x＜e时，lnx＜1，-

e

x

＜-1，∴f′(x)=lnx-

e

x

＜0；
当x=e时，f'（x）=1-1=0；
当x＞e时，lnx＞1，-

e

x

＞-1，∴f′(x)=lnx-

e

x

＞0，
∴f（x）存在唯一的极值点e，
∴m=e，则点P为（e，0）．
（ⅱ）若x₁=e，则lnx₁x₂=lnx₂+1，lnx₁•lnx₂+2=lnx₂+2，
与条件lnx₁•x₂=lnx₁•lnx₂+2不符，从而得x₁≠e．
同理可得x₂≠e．                    
若x₁=x₂，由lnx₁•x₂=lnx₁•lnx₂+2⇒(lnx1)2-2lnx1+2=0，此方程无实数解，
从而得x₁≠x₂．                 
由上可得点A，B，P两两不重合．
又

PA

•

PB

=(x1-e，f(x1))•(x2-e，f(x2))=（x₁-e）（x₂-e）+（x₁-e）（x₂-e）（lnx₁-1）（lnx₂-1）=（x₁-e）（x₂-e）（lnx₁lnx₂-lnx₁x₂+2）=0
从而PA⊥PB，点A，B，P可构成直角三角形．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、导数的几何意义、切线的方程、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力和计算能力，属于难题．