Question

7．（1）把圆锥曲线C的参数方程：$\left\{\begin{array}{l}x={t^2}+\frac{1}{t^2}-2\\ y=t-\frac{1}{t}\end{array}\right.（t$为参数）化为直角坐标方程；
（2）若两条曲线的极坐标方程分别为ρ=1与ρ=2cos（θ+$\frac{π}{3}$），它们相交于A、B两点，求线段AB的长．

Answer 1

分析 （1）消去参数，可得直角坐标方程；
（2）先将原极坐标方程化成直角坐标方程，再利用直角坐标方程进行判断．

解答 解：（1）圆锥曲线C的参数方程：$\left\{\begin{array}{l}x={t^2}+\frac{1}{t^2}-2\\ y=t-\frac{1}{t}\end{array}\right.（t$为参数），可得y²=t²+$\frac{1}{{t}^{2}}$-2=x；
（2）由ρ=1得x²+y²=1，
又∵ρ=2cos（θ+$\frac{π}{3}$）=cosθ-$\sqrt{3}$sinθ，
∴ρ²=ρcosθ-$\sqrt{3}ρ$sinθ，
∴x²+y²-x+$\sqrt{3}$y=0，
联立两方程，解得A（1，0），B（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
∴|AB|=$\sqrt{（1+\frac{1}{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=$\sqrt{3}$．

点评 本题考查参数方程与普通方程的互化，考查点的极坐标和直角坐标的互化，利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，进行代换即得．