Question

4．已知函数f（x）=2lnx+1在点（1，f（1））处的切线为l，点（a_n，a_n+1）在l上，且a₁=2，则a₂₀₁₅=（　　）

• A． 2²⁰¹⁴-1
• B． 2²⁰¹⁴+1
• C． 2²⁰¹⁵-1
• D． 2²⁰¹⁵+1

Answer 1

分析 求函数的导数，利用导数的几何意义求出函数的切线方程，利用构造法构造等比数列，求出数列的通项公式即可得到结论．

解答 解：函数的导数f′（x）=$\frac{2}{x}$，
则f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率k=f′（1）=2，
f（1）=2ln1+1=1，
则在点（1，f（1））处的切线方程为y-1=2（x-1），即y=2x-1，
∵点（a_n，a_n+1）在l上，且a₁=2，
∴a_n+1=2a_n-1，
即a_n+1-1=2（a_n-1），
则数列{a_n-1}是公比q=2的等比数列，首项为a₁-1=2-1=1，
则a_n-1=2^n-1，
则a_n=2^n-1+1，
则a₂₀₁₅=2²⁰¹⁴+1，
故选：B

点评 本题主要考查数列的求解，根据导数的几何意义求出函数的切线方程，利用构造法构造等比数列是解决本题的关键．