题目内容
【题目】如图，在三棱柱
中，侧面
与侧面
都是菱形，
，
.
（1）证明：
；
（2）若三棱柱的体积为
，求二面角
的余弦值.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】分析：（1）取
的中点
，连接
、
、
、
，由菱形的性质可得
，
，则
平面
，
.
（2）由题意结合几何关系可得
平面
，建立空间直角坐标系
.则平面
的一个法向量为
，
是平面
的一个法向量.据此计算可得二面角
的余弦值为.
详解：（1）取的中点，连接、、、，
由菱形的性质及
.
得
，
为正三角形.
∴，，且
.
∴平面，∴.
（2）三棱锥
的体积是三棱柱
体积的三分之一，
得四棱锥
的体积是柱体体积的三分之二，即等于
.
平行四边形的面积为
.
设四棱锥的高为
，则：
，∴
，
又
，平面，
建立如图直角坐标系：.
则
，
，
.
，
，
设平面的一个法向量为
，
则
，
取一个法向量为，
显然是平面的一个法向量.
则
.
二面角的余弦值为.
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