Question

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知AB=BC=1，BB₁=。连接BC₁，过B₁作B₁E⊥BC₁交CC₁于点E。

（1）求证：AC₁⊥平面B₁D₁E；
（2）求二面角E-B₁D₁-C₁的大小。

Answer 1

（1）证明：连接A1C1交B1D1于点O1， 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB⊥平面B1BCC1， AC1在平面B1BCC1内的射影是BC1， 又B1E⊥BC1， ∴AC1⊥B1E， 已知AB=BC=1， ∴底面A1B1C1D1是正方形， ∴A1C1⊥B1D1， 又AC1在平面A1B1C1D1内的射影是A1C1， AA1⊥平面A1B1C1D1， ∴AC1⊥B1D1，B1D1∩B1E=B1， ∴AC1⊥平面B1D1E。 （2）解：连接EO1， 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，CC1⊥平面A1B1C1D1， 即EC1⊥平面A1B1C1D1， ∴EO1在平面A1B1C1D1内的射影是C1O1， 又A1C1⊥B1D1，即C1O1⊥B1D1， ∴EO1⊥B1D1， ∴∠EO1C1为二面角E-B1D1-C1的平面角， 在长方形B1BCC1中， BB1=，BC=B1C1=1，B1E⊥BC1， ∠EB1C1=∠C1BB1， ∴直角△EB1C1∽直角△C1BB1， ∴， 即EC1=， 在直角△EC1O1，EC1=C1O1=， ∴∠EO1C1=45°。