Question

已知a＞0，函数f（x）=x|x-a|（x∈R）．
（1）当a=2时，画出函数y=f（x）的大致图象；

（2）当a=2时，根据图象写出函数y=f（x）的单调减区间，并用定义证明你的结论；
（3）试讨论关于x的方程f（x）+1=a解的个数．

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：（1）化简函数，结合二次函数的图象，可得结论；
（2）根据图象可写出函数y=f（x）的单调减区间，用定义证明时，先取值，再作差，定号，下结论即可；
（3）关于x的方程f（x）+1=a解的个数等价于y=f（x）与直线y=a-1的图象的交点个数．结合函数图象关于x的方程f（x）+1=a解的个数．

解答： 解：（1）当a=2时，函数y=f（x）=

x(x-2)，x≥2 x(2-x)，x＜2

的大致图象如图所示；

（2）当a=2时，f（x）=x|x-2|的单调递减区间是[1，2]．
证明：设x₁，x₂∈[1，2]，x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）=（2x₁-x₁²）-（2x₂-x₂²）=（x₁-x₂）[2-（x₁+x₂）]
∵x₁，x₂∈[1，2]，x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，2＜x₁+x₂＜4，
∴（x₁-x₂）[2-（x₁+x₂）]＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）=x|x-2|的单调递减区间是[1，2]．（8分）
（3）由题意，关于x的方程f（x）+1=a解的个数等价于y=f（x）与直线y=a-1的图象的交点个数．
∵f(

a

2

)=

a2

4

，注意到f(

a

2

)-（a-1）=

1

4

（a-2）²≥0，当且仅当a=2时，等号成立．
∴根据图象可得，当0＜a＜1时，y=f（x）与直线y=a-1的图象有1个交点；
当a=1，a=2时，y=f（x）与直线y=a-1的图象有2个交点；
当1＜a＜2或a＞2时，y=f（x）与直线y=a-1的图象有3个交点．（12分）

点评：本题考查分段函数，考查函数的单调性，考查方程解的个数的讨论，考查数形结合的数学思想，属于中档题．