Question

20．已知g（x）=（sinωx+cosωx）²，h（x）=cos²（ωx+$\frac{π}{12}$），ω＞0．函数f（x）=g（x）-2h（x）图象相邻对称轴之间的距离为$\frac{π}{2}$．
（1）求ω的值以及f（x）最大值；
（2）试作出函数y=f（x）在[0，π]上的图象；
（3）若h（$\frac{α}{2}$）=$\frac{4}{5}$，α∈（-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$），试求f（α+$\frac{π}{4}$）的值．

Answer 1

分析 （1）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=$\sqrt{3}$sin（2ωx-$\frac{π}{6}$），由题意T=2×$\frac{π}{2}$=π，即可解得ω，以及f（x）最大值；
（2）根据五点法，求出对应的五点，即可得到结论．
（3）由题意可求得$α+\frac{π}{6}$∈（0，$\frac{2π}{3}$），cos（$α+\frac{π}{6}$）=$\frac{3}{5}$，sin（$α+\frac{π}{6}$）=$\sqrt{1-co{s}^{2}（α+\frac{π}{6}）}$=$\frac{4}{5}$，利用倍角公式即可得解．

解答 解：（1）∵g（x）=（sinωx+cosωx）²=1+sin2ωx，h（x）=cos²（ωx+$\frac{π}{12}$）=$\frac{1+cos（2ωx+\frac{π}{6}）}{2}$，
∴f（x）=g（x）-2h（x）=1+sin2ωx-$\frac{1+cos（2ωx+\frac{π}{6}）}{2}$=$\frac{3}{2}$sin2ωx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2ωx=$\sqrt{3}$sin（2ωx-$\frac{π}{6}$）．
∵两条相邻对称轴之间的距离等于$\frac{π}{2}$．
∴T=2×$\frac{π}{2}$=π，即$\frac{2π}{2ω}$=π，
∴ω=1，
则f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x-$\frac{π}{6}$）．f（x）_max=$\sqrt{3}$．
（2）列表：

x	0	$\frac{π}{12}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{7π}{12}$	$\frac{5π}{6}$	π
2x-$\frac{π}{6}$	-$\frac{π}{6}$	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	$\frac{11π}{6}$
$\sqrt{3}$sin（2x-$\frac{π}{6}$）	-$\frac{\sqrt{3}}{2}$	0	$\sqrt{3}$	0	-$\sqrt{3}$	-$\frac{\sqrt{3}}{2}$

描点得图象：

（3）∵α∈（-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$），$α+\frac{π}{6}$∈（0，$\frac{2π}{3}$），
∵h（$\frac{α}{2}$）=$\frac{1+cos（α+\frac{π}{6}）}{2}$=$\frac{4}{5}$，可解得：cos（$α+\frac{π}{6}$）=$\frac{3}{5}$，sin（$α+\frac{π}{6}$）=$\sqrt{1-co{s}^{2}（α+\frac{π}{6}）}$=$\frac{4}{5}$，
∴f（α+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{3}$sin[2（α+$\frac{π}{4}$）-$\frac{π}{6}$]=$\sqrt{3}$sin（2α+$\frac{π}{3}$）=2$\sqrt{3}$sin（$α+\frac{π}{6}$）cos（$α+\frac{π}{6}$）=2$\sqrt{3}$×$\frac{3}{5}×\frac{4}{5}$=$\frac{24\sqrt{3}}{25}$．

点评 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的图象和性质，考查了五点作图法，属于基本知识的考查．