题目内容

12.已知向量$\overrightarrow{m}$=($\sqrt{3}$sinx,-1),$\overrightarrow{n}$=(cosx,cos2x),函数f(x)=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$+$\frac{1}{2}$
(1)若x∈[0,$\frac{π}{4}$],f(x)=$\frac{\sqrt{3}}{3}$,求cos2x的值;
(2)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且满足2bcosA≤2c-$\sqrt{3}$a,求f(B)的取值范围.

分析 (1)利用数量积运算性质、倍角公式、和差公式可得f(x)=$sin(2x-\frac{π}{6})$,由于x∈[0,$\frac{π}{4}$],f(x)=$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x$-$\frac{1}{2}cos2x$,又sin22x+cos22x=1,即可解得cos2x.
(2)2bcosA≤2c-$\sqrt{3}$a,利用余弦定理化为a2+c2-b2$≥\sqrt{3}$ac,再利用余弦定理可得cosB$≥\frac{\sqrt{3}}{2}$,即可得出.

解答 解:(1)f(x)=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$+$\frac{1}{2}$=$\sqrt{3}sinxcosx$-cos2x$+\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x$-$\frac{1}{2}cos2x$=$sin(2x-\frac{π}{6})$,
∴x∈[0,$\frac{π}{4}$],f(x)=$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x$-$\frac{1}{2}cos2x$,又sin22x+cos22x=1,
解得cos2x=$\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{3}}{6}$.
(2)∵cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$,2bcosA≤2c-$\sqrt{3}$a,
∴$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{c}$≤2c-$\sqrt{3}$a,化为a2+c2-b2$≥\sqrt{3}$ac,
∴cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$$≥\frac{\sqrt{3}}{2}$,
∴$0<B≤\frac{π}{6}$.
f(B)=sin$(2B-\frac{π}{6})$,$(2B-\frac{π}{6})$∈$(-\frac{π}{6},\frac{π}{6}]$,
∴f(B)∈$(-\frac{1}{2},\frac{1}{2}]$.

点评 本题考查了数量积运算性质、倍角公式、和差公式、余弦定理、三角函数的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

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