Question

17．设S_n是数列{a_n}的前n项和，且a₁=1，a_n+1=-S_nS_n+1，则使$\frac{n{{S}_{n}}^{2}}{1+10{{S}_{n}}^{2}}$取得最大值时n的值为（　　）

• A． 5
• B． 4
• C． 3
• D． 2

Answer 1

分析 a₁=1，a_n+1=-S_nS_n+1，可得S_n+1-S_n=-S_nS_n+1，$\frac{1}{{S}_{n+1}}$-$\frac{1}{{S}_{n}}$=1．利用等差数列的通项公式即可得出S_n=$\frac{1}{n}$，代入$\frac{n{{S}_{n}}^{2}}{1+10{{S}_{n}}^{2}}$=$\frac{n×\frac{1}{{n}^{2}}}{1+10×\frac{1}{{n}^{2}}}$=$\frac{n}{{n}^{2}+10}$，利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：∵a₁=1，a_n+1=-S_nS_n+1，
∴S_n+1-S_n=-S_nS_n+1，∴$\frac{1}{{S}_{n+1}}$-$\frac{1}{{S}_{n}}$=1．
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=1+-（n-1）=n，
∴S_n=$\frac{1}{n}$，
则使$\frac{n{{S}_{n}}^{2}}{1+10{{S}_{n}}^{2}}$=$\frac{n×\frac{1}{{n}^{2}}}{1+10×\frac{1}{{n}^{2}}}$=$\frac{n}{{n}^{2}+10}$=$\frac{1}{n+\frac{10}{n}}$≤$\frac{1}{2\sqrt{n•\frac{10}{n}}}$=$\frac{1}{2\sqrt{10}}$，等号不成立．
经过验证：则使$\frac{n{{S}_{n}}^{2}}{1+10{{S}_{n}}^{2}}$取得最大值时n的值为3．
故选：C．

点评 本题考查了等差数列的通项公式、方程的解法、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．