Question

12．（1）已知tan α=$\frac{1}{2}$，求$\frac{1+2sin（π-α）cos（-2π-α）}{{sin}^{2}（-α）-si{n}^{2}（\frac{5π}{2}-α）}$的值．
（2）已知$\frac{π}{4}$＜β＜α＜$\frac{3π}{4}$，cos（α-β）=$\frac{12}{13}$，sin（α+β）=-$\frac{3}{5}$，求sin 2α的值．

Answer 1

分析 （1）利用诱导公式化简，再“弦化切”思想可得答案；
（2）根据$\frac{π}{4}$＜β＜α＜$\frac{3π}{4}$，cos（α-β）=$\frac{12}{13}$，sin（α+β）=-$\frac{3}{5}$，求出sin（α-β），cos（α+β），那么sin 2α=sin[（α-β）+（α+β）]利用和与差公式求解．

解答 解：（1）$\frac{1+2sin（π-α）cos（-2π-α）}{{sin}^{2}（-α）-si{n}^{2}（\frac{5π}{2}-α）}$
原式=$\frac{1+2sinαcosα}{si{n}^{2}a-co{s}^{2}α}$=$\frac{（sinα+cosα）^{2}}{（sinα+cosα）（sinα-cosα）}$=$\frac{sinα+cosα}{sinα-cosα}$=$\frac{tanα+1}{tanα-1}$
又∵tan α=$\frac{1}{2}$，∴原式=$\frac{\frac{1}{2}+1}{\frac{1}{2}-1}$=-3．
（2）∵$\frac{π}{4}$＜β＜α＜$\frac{3π}{4}$，
∴$\frac{π}{2}$＜α+β＜$\frac{3π}{2}$，
0＜α-β＜$\frac{π}{2}$．
又∵cos（α-β）=$\frac{12}{13}$，sin（α+β）=-$\frac{3}{5}$，
∴sin（α-β）=$\frac{5}{13}$，cos（α+β）=-$\frac{4}{5}$，
∴sin 2α=sin[（α+β）+（α-β）]=sin（α+β）cos（α-β）+cos（α+β）sin（α-β）=-$\frac{56}{65}$．

点评 本题考查的知识点是两角和与差的余弦公式，诱导公式，难度不大，属于基础题．