Question

8．已知数列{a_n}的前n项和为S_n=n²-n，令b_n=a_ncos$\frac{nπ}{2}$，记数列{b_n}的前n项为T_n，则T₂₀₁₅=（　　）

• A． -2011
• B． -2012
• C． -2013
• D． -2014

Answer 1

分析 利用“当n=1时，a₁=S₁．当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1”可得a_n，于是${b_n}={a_n}cos\frac{nπ}{2}$=2（n-1）•cos$\frac{nπ}{2}$．由于函数y=cos$\frac{nπ}{2}$的周期T=$\frac{2π}{\frac{π}{2}}$=4．利用周期性和等差数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：由数列{a_n}的前n项和S_n=n²-n，
当n=1时，a₁=S₁=1-1=0．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²-n-[（n-1）²-（n-1）]=2n-2．
上式对于n=1时也成立．
∴a_n=2n-2．
∴${b_n}={a_n}cos\frac{nπ}{2}$=2（n-1）•cos$\frac{nπ}{2}$．
∵函数y=cos$\frac{nπ}{2}$的周期T=$\frac{2π}{\frac{π}{2}}$=4．
∴T₂₀₁₅=（b₁+b₅+…+b₂₀₀₉）+（b₂+b₆+…+b₂₀₁₀）+（b₃+b₇+…+b₂₀₁₁）
+（b₄+b₈+…+b₂₀₁₂）+b₂₀₁₃+b₂₀₁₄+b₂₀₁₅
=0-2（1+5+…+2009）+0+2（3+7+…+2011）
+4024•cos$\frac{2013π}{2}$+4026•cos$\frac{2014π}{2}$+4028•cos$\frac{2015π}{2}$
=4×503+0-4026
=-2014．
故选D．

点评 本题考查了利用“当n=1时，a₁=S₁．当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1”求a_n、余弦函数的周期性、等差数列的通项公式与前n项和公式，考查了推理能力和计算能力，属于难题．