Question

【题目】已知顶点是坐标原点的抛物线的焦点在轴正半轴上，圆心在直线上的圆与轴相切，且关于点对称．

（1）求和的标准方程；

（2）过点的直线与交于，与交于，求证：．

Answer 1

【答案】（1）,；（2）证明见解析.

【解析】分析：（1）设的标准方程为，由题意可设．结合中点坐标公式计算可得的标准方程为．半径，则的标准方程为．

（2）设的斜率为，则其方程为，由弦长公式可得．联立直线与抛物线的方程有．设，利用韦达定理结合弦长公式可得 ．则．即 ．

详解：（1）设的标准方程为，则．

已知在直线上，故可设．

因为关于对称，所以

解得

所以的标准方程为．

因为与轴相切，故半径，所以的标准方程为．

（2）设的斜率为，那么其方程为，

则到的距离，所以．

由消去并整理得：．

设，则，

那么 ．

所以．

所以，即 ．