Question

【题目】设数列的首项，前项和满足关系式.

（1）求证：数列是等比数列；

（2）设数列的公比为，作数列，使，求数列的通项公式；

（3）数列满足条件（2），求和：.

Answer 1

【答案】（1）见解析.

（2）.

（3）.

【解析】

（1）利用，求得数列的递推式，整理得，进而可推断出时，数列成等比数列，然后分别求得和，验证亦符合，进而可推断出是一个首项为1，公比为的等比数列；（2）把 的解析式代入，进而可知，判断出是一个首项为1，公差为1的等差数列．进而根据等差数列的通项公式求得答案；（3）由是等差数列．进而可推断出和也是首项分别为1和2，公差均为2的等差数列，进而用分组法可求得结果．

（1）因为 ①

②

，得，所以.

又由，得.又因为，所以.

所以是一个首项为1，公比为的等比数列.

（2）由，得

.

所以是一个首项为1，公差为1的等差数列.于是.

（3）由，可知和是首项分别为1和2，公差均为2的等差数列，于是，

所以

.