题目内容
【题目】已知函数
.
（1）若函数
在点
处切线的斜率为4，求实数
的值；
（2）求函数的单调区间；
（3）若函数
在
上是减函数，求实数的取值范围.
【答案】（1）6；（2）单调递减区间是
，单调递增区间是
；（3）
【解析】
（1）利用导数的几何意义得到
，从而求出a的值.(2)对a分类讨论，利用导数求函数的单调区间.(3)先转化为
在
上恒成立，再化为
在上恒成立，再求
在上的最大值即得a的取值范围.
（1）
，而，即
，解得
.
（2）函数
的定义域为
.
①当
时，
，的单调递增区间为；
②当
时，
.
当
变化时，
的变化情况如下:
由此可知，函数的单调递减区间是，单调递增区间是.
（3）
，于是
.
因为函数
在上是减函数，所以在上恒成立，
即
在上恒成立.
又因为函数的定义域为，所以有
在[上恒成立.
于是有，设
，则
，所以有
，，
当
时，
有最大值
，于是要使
在上恒成立，只需
，
即实数
的取值范围是
.
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