Question

5．在数列{a_n}中a₁=1，且a_n=$\frac{n-1}{n+1}$a_n-1（n≥2），求α_n与s_n．

Answer 1

分析 由已知得$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n-1}{n+1}$，n≥2，由此利用累加法能求出a_n；由${a}_{n}=\frac{2}{n（n+1）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，利用裂项求和法能求出S_n．

解答 解：∵在数列{a_n}中a₁=1，且a_n=$\frac{n-1}{n+1}$a_n-1（n≥2），
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n-1}{n+1}$，n≥2，
∴a_n=${a}_{1}×\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}×\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}×…×\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$
=$1×\frac{1}{3}×\frac{2}{4}×\frac{3}{5}×…×\frac{n-1}{n+1}$
=$\frac{2}{n（n+1）}$，n≥2．
n=1时，上式成立，∴${a}_{n}=\frac{2}{n（n+1）}$．n∈N^*．
∵${a}_{n}=\frac{2}{n（n+1）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，
∴S_n=$\frac{1}{2}$（$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$）
=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{n+1}）$
=$\frac{n}{2（n+1）}$．

点评 本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意累加法和裂项求和法的合理运用．