Question

13．在四面体ABCD中，AB=CD=6，AC=BD=4，AD=BC=5，则四面体ABCD的外接球的表面积为$\frac{77π}{2}$．

Answer 1

分析 由题意可采用割补法，考虑到四面体ABCD的四个面为全等的三角形，所以可在其每个面补上一个以6，4，5为三边的三角形作为底面，且以分别为x，y，z，长、两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为x，y，z的长方体，由此能求出球的半径，进而求出球的表面积．

解答 解：由题意可采用割补法，考虑到四面体ABCD的四个面为全等的三角形，
所以可在其每个面补上一个以6，4，5为三边的三角形作为底面，
且以分别为x，y，z，长、两两垂直的侧棱的三棱锥，
从而可得到一个长、宽、高分别为x，y，z的长方体，
并且x²+y²=36，x²+z²=16，y²+z²=25，
设球半径为R，则有（2R）²=x²+y²+z²=$\frac{77}{2}$，
∴4R²=$\frac{77}{2}$，
∴球的表面积为S=4πR²=$\frac{77π}{2}$．
故答案为：$\frac{77π}{2}$．

点评 本题考查球的表面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．