题目内容
已知函数f（x）=sin（2x+
）+sin（2x-
）+
cos2x-m，若f（x）的最大值为1．
（1）求m的值，并求f（x）的单调增区间；
（2）在△ABC中，角A、B、C所对的边是a、b、c，若f（B）=
-1，且
a=b+c，试判断三角形的形状．
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
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（1）求m的值，并求f（x）的单调增区间；
（2）在△ABC中，角A、B、C所对的边是a、b、c，若f（B）=
| 3 |
| 3 |
考点：三角函数中的恒等变换应用,余弦定理
专题：三角函数的图像与性质,解三角形
分析：（1）利用三角恒等变换可得f（x）=2sin（2x+
）-m，依题意可求得m=1；利用正弦函数的单调性即可求得f（x）的单调增区间；
（2）在△ABC中，由f（B）=
-1，可求得B=
，又
a=b+c，利用正弦定理化简整理可得sin（A-
）=
，从而可求得A，继而可判断三角形的形状．
| π |
| 3 |
（2）在△ABC中，由f（B）=
| 3 |
| π |
| 6 |
| 3 |
| π |
| 6 |
| 1 |
| 2 |
解答：
解：（1）∵f（x）=sin（2x+
）+sin（2x-
）+
cos2x-m
=2sin2xcos
+
cos2x-m
=sin2x+
cos2x-m=2sin（2x+
）-m，
又f（x）的最大值为1，
∴2-m=1，解得m=1，
∴f（x）=2sin（2x+
）-1．
由-
+2kπ≤2x+
≤
+2kπ得：-
+kπ≤x≤
+kπ，k∈Z．
∴f（x）的单调增区间为[-
+kπ，
+kπ]（k∈Z）；
（2）在△ABC中，∵f（B）=
-1，∴2sin（2B+
）-1=
-1，即 sin（2B+
）=
，
∴2B+
=
，解得B=
．
又
a=b+c，∴
sinA=sinB+sinC=
+sin（
-A），化简可得 sin（A-
）=
，
∴A=
，C=
，
故△ABC为直角三角形．
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 3 |
=2sin2xcos
| π |
| 3 |
| 3 |
=sin2x+
| 3 |
| π |
| 3 |
又f（x）的最大值为1，
∴2-m=1，解得m=1，
∴f（x）=2sin（2x+
| π |
| 3 |
由-
| π |
| 2 |
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| 3 |
| π |
| 2 |
| 5π |
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| π |
| 12 |
∴f（x）的单调增区间为[-
| 5π |
| 12 |
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| 12 |
（2）在△ABC中，∵f（B）=
| 3 |
| π |
| 3 |
| 3 |
| π |
| 3 |
| ||
| 2 |
∴2B+
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| 2π |
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| π |
| 6 |
又
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| 3 |
| 1 |
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| 5π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| 1 |
| 2 |
∴A=
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
故△ABC为直角三角形．
点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查正弦函数的单调性与余弦定理，考查规范解答与运算求解能力，属于中档题．
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