Question

9．已知f（x）是周期为4的奇函数，x∈[0，2]时，f（x）=$\sqrt{1-（x-1）^{2}}$．若方程f（x）-tx=0恰好有5个实根，则正实数t等于（　　）

• A． $\frac{1}{5}$
• B． $\frac{\sqrt{6}}{12}$
• C． $\frac{\sqrt{5}}{5}$
• D． $\frac{\sqrt{6}}{6}$

Answer 1

分析 根据函数奇偶性和周期性的关系求出函数的解析式，利用函数与方程的关系转化为两个函数的交点个数问题，利用数形结合进行求解即可．

解答 解：若x∈[-2，0]，则-x∈[0，2]，
则f（-x）=$\sqrt{1-（-x-1）^{2}}$，
∵f（x）是周期为4的奇函数，
∴f（-x）=$\sqrt{1-（-x-1）^{2}}$=-f（x）
即f（x）=-$\sqrt{1-（x+1）^{2}}$，x∈[-2，0]，
由f（x）-tx=0得f（x）=tx，
作出函数f（x）与g（x）=tx的图象如图：
要使方程f（x）-tx=0恰好有5个实根，
则只需要当x＞0时f（x）与g（x）有两个交点，
即当x∈[4，6]时，g（x）与f（x）相切，即可．
当当x∈[4，6]时，当x-4∈[0，2]，
则f（x）=f（x-4）=$\sqrt{1-（x-4-1）^{2}}$=$\sqrt{1-（x-5）^{2}}$，此时圆心为（5，0），半径R=1，
则圆心到直线tx-y=0的距离d=$\frac{5t}{\sqrt{{t}^{2}+1}}$=1，
得t=$\frac{\sqrt{6}}{12}$，
故选：B．

点评 本题主要考查函数与方程的应用，利用函数奇偶性和周期性的关系求出函数的解析式，转化为两个函数的交点问题是解决本题的关键．