Question

20．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F₁、F₂，实轴的两个端点分别为A₁、A₂，虚轴的两个端点分别为B₁、B₂，若在线段B₁F₂上，存在两点M、N（点M、N异于B₁、F₂），使得∠A₁MA₂=∠A₁NA₂=90°，则双曲线离心率e的取值范围为$\sqrt{2}$＜e＜$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$．

Answer 1

分析 设A₁（-a，0），A₂（a，0），F₁（-c，0），F₂（c，0），B₁（0，b），B₂（0，-b），可得直线B₁F₂的方程为$\frac{x}{c}$+$\frac{y}{b}$=1，即bx+cy-bc=0，求得直线B₁F₂的方程，由直线和圆相交的条件：d＜r，结合a，b，c的关系和离心率公式，可得e的范围；再由a，b的关系，可得a＜b成立，即可得到所求离心率的范围．

解答 解：设A₁（-a，0），A₂（a，0），F₁（-c，0），F₂（c，0），
B₁（0，b），B₂（0，-b），
可得直线B₁F₂的方程为$\frac{x}{c}$+$\frac{y}{b}$=1，即bx+cy-bc=0，
以A₁A₂为直径的圆的方程为x²+y²=a²，
由题意可得A₁A₂为直径的圆与线段B₁F₂相交，
首先满足圆心O到直线B₁F₂的距离小于a，
即有$\frac{bc}{\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}}$＜a，
即有b²c²＜a²b²+a²c²，
可得c⁴-3a²c²+a⁴＜0，
即有e⁴-3e²+1＜0，
解得$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$＜e＜$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，
由e＞1，即有1＜e＜，
由a=b时，可得∠A₁BA₂=90°，e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{2}$，
当a＞b时，即e＜$\sqrt{2}$，圆与线段只有一个交点；
a＜b时，即e＞$\sqrt{2}$，圆与线段有两个交点．
综上可得，e的范围是：$\sqrt{2}$＜e＜$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$．
故答案为：$\sqrt{2}$＜e＜$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$．

点评 本题考查双曲线的离心率的范围，注意线段和圆相交必须满足的条件：d＜r，同时考查点到直线的距离公式和特殊点的排除，属于中档题和易错题．