Question

（本小题满分12分）如图，平面平面，是以为斜边的等腰直角三角形，分别为，，的中点，，．
（1）设是的中点，证明：平面；
（2）在内是否存在一点，使平面，若存在，请找出点M，并求FM的长；若不存在，请说明理由。

Answer 1

证明：（1）见解析；（2）。

本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，其中建立适当的坐标系，将线面平行及线面垂直问题，转化为向量夹角问题是解答本题的关键．本题综合较强，难度较大．
（I）连接OP，以O为坐标原点，分别以OB、OC、OP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，分别求了各点对应的坐标，求出直线FG的方向向量和平面BOE的法向量，判断两个向量的关系，即可得到FG∥平面BOE；
（II）设点M的坐标为（x₀，y₀，0），则我们易求出直线FM的方向向量，由FM⊥平面BOE求出满足条件的M点的坐标，并与△ABO内部表示的平面区域对应的约束条件进行比照，即可得到答案．
证明：（1）取PE中点H，连结FH，GH，
∵ F，G分别为PB，OC中点，∴FH//BE，GH//EO，
∵，， ，
∴，∵，∴。  …………5分
（2）∵是以为斜边的等腰直角三角形，且O为AC中点，∴，
又∵平面平面， ，，
∴。
，所以，
∵，∴，
，连结FM，因为点F为PB中点，
则，进而，。
                                                 …………12分