题目内容
3．已知双曲线C：$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}$=1，点M与曲线C的焦点不重合，若点M关于曲线C的两个焦点的对称点分别为A，B，M，N是坐标平面内的两点，且线段MN的中点P恰好在双曲线C上，则|AN-BN|=12．分析 根据已知条件，作出图形，MN的中点连接双曲线的两个焦点，便会得到三角形的中位线，根据中位线的性质及双曲线上的点到两焦点的距离之差的绝对值为2a，即可求出||AN|-|BN||．
解答 
解：双曲线C：$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}$=1的a=3，
设双曲线C的左右焦点分别为F1，F2，如图，
连接PF1，PF2，
∵F1是MA的中点，P是MN的中点，
∴F1P是△MAN的中位线，
∴|PF1|=$\frac{1}{2}$|AN|，
同理|PF2|=$\frac{1}{2}$|BN|，
∴||AN|-|BN||=2||PF1|-|PF2||，
∵P在双曲线上，
根据双曲线的定义知：
||PF1|-|PF2||=2a=6，
∴||AN|-|BN||=12．
故答案为：12．
点评 本题考查双曲线的定义、方程和性质，同时考查三角形的中位线，运用定义法是解题的关键，属于中档题．
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| A． | $\frac{{\sqrt{5}}}{2}$ | B． | $\frac{{\sqrt{5}}}{3}$ | C． | $\frac{{\sqrt{13}}}{2}$ | D． | $\frac{{\sqrt{13}}}{3}$ |