Question

观察以下5个等式：
-1=-1
-1+3=2
-1+3-5=-3
-1+3-5+7=4
-1+3-5+7-9=-5
…
照以上式子规律：
（1）写出第6个等式，并猜想第n个等式；（n∈N^*）
（2）用数学归纳法证明上述所猜想的第n个等式成立．（n∈N^*）

Answer 1

考点：归纳推理

专题：推理和证明

分析：（1）由已知中-1=-1，-1+3=2，-1+3-5=-3，-1+3-5+7=4，-1+3-5+7-9=-5，等式左边有n个连续奇数相加减，右边为n（n为偶数）或n的相反数（n为奇数），进而得到结论；
（2）当n=1时，由已知得原式成立，假设当n=k时，原式成立，推理可得n=k+1时，原式也成立，①②知-1+3-5+7-9+…+（-1）ⁿ（2n-1）=（-1）ⁿn成立．

解答： 解：（1）由已知中：
-1=-1
-1+3=2
-1+3-5=-3
-1+3-5+7=4
-1+3-5+7-9=-5
…
归纳可得：
第6个等式为-1+3-5+7-9+11=6   …（2分）
第n个等式为-1+3-5+7-9+…+（-1）ⁿ（2n-1）=（-1）ⁿn…（4分）
（2）下面用数学归纳法给予证明：-1+3-5+7-9+…+（-1）ⁿ （2n-1）=（-1）ⁿn
①当n=1时，由已知得原式成立； …（5分）
②假设当n=k时，原式成立，
即-1+3-5+7-9+…+（-1）^k （2k-1）=（-1）^kk…（6分）
那么，当n=k+1时，
-1+3-5+7-9+…+（-1）^k （2k-1）+（-1）^k+1 （2k+1）
=（-1）^kk+（-1）^k+1 （2k+1）
=（-1）^k+1（-k+2k+1）
=（-1）^k+1 （k+1）
故n=k+1时，原式也成立，
由①②知-1+3-5+7-9+…+（-1）ⁿ（2n-1）=（-1）ⁿn成立．

点评：本题考查的知识点是归纳推理，数数归纳法，熟练掌握利用数学归纳法证明的步骤是解答的关键．归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．